Управление каким-либо объектом



Скачать 409.55 Kb.
страница8/18
Дата06.06.2019
Размер409.55 Kb.
Название файлаТАУ контрольная.docx
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   18
5.2 Модели «чёрного ящика»

С помощью передаточных функций может быть построено несколько типов моделей. В простейшем случае функции G и H рассматриваются как рациональные функции, а коэффициенты полиномов в числителе и знаменателе этих функций становятся параметрами модели. Такие модели также называются моделями «чёрного ящика», так как с их помощью может быть лишь описана взаимосвязь между входами и выходами системы, но не внутренняя структура или законы функционирования.

Наиболее просто взаимодействие между входом и выходом может быть представлено в виде линейного разностного уравнения:


http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image013.png

(5.10)

Так как белый шум e(t) вносит ошибка прямо в разностное уравнение, такую модель также называют моделью ошибки предсказания. Вектора параметров модели:

http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image014.png

(5.11)

Введём обозначения

http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image015.png,

 

тогда

http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image016.png

(5.12)

Модель (5.10) также называется ARX-моделью, при этом AR означает «autoregressive» (авторегрессионная), а X – дополнительный вход B(q)u(t) (в эконометрике этот вход называется экзогенно, то есть внешней, переменной). В случае, если na = 0, y(t) рассматривается как выход фильтра с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтра). Такая модель широко применяется при решении задач цифровой обработки сигналов.

Оценка выходного сигнала модели (5.10) может быть вычислена так:



http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image017.png .

(5.13)

Введём обозначение для наблюдаемых значений входного и выходного сигналов:

http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image018.png.

(5.14)

Тогда (5.13) примет вид:

http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image019.png .

(5.15)

Такая модель в статистике называется линейной регрессией, а вектор φ(t) – вектором регрессии. Для определения вектора параметров модели могут быть применены простые, но мощные методы.

Основной недостаток модели (5.10) состоит в недостаточной гибкости описания возмущения. Можно сделать модель более гибкой, если описать ошибку модели как скользящее среднее белого шума. В результате получится модель:



http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image020.png

(5.16)

Введя обозначение

http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image021.png

(5.16)

получим

http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image022.png .

(5.17)

В вектор параметров модели теперь входят и коэффициенты с1,…, сn.. Такая модель называется ARMAX.

Наконец, ошибку модели (5.10) можно описать и с помощью авторегрессии. В результате получим модель



http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image023.png

(5.18)

Такая модель, по аналогии с предыдущими, называется ARARX.

Предположим теперь, что взаимосвязь между входом и невозмущённым выходом может быть описана с помощью линейного разностного уравнения. Тогда можно записать



http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image024.png

(5.19)

Введя обозначение

http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image025.png

 

получим модель, называемую моделью выходной ошибки:

http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image026.png .

(5.20)

Наиболее общая форма модели чёрного ящика может быть записана в следующем виде:

http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image027.png .

(5.21)

Если система имеет задержку на k отсчётов, модель принимает вид:

В моделях пространства состояний зависимость между векторами входа, выхода и шума описывается дифференциальными или разностными уравнениями первого порядка с использованием дополнительного вектора состояний x(t).

Модели большинства физических систем проще строить для непрерывного времени в силу того, что физические законы сформулированы именно для случая непрерывного времени. Функционирование физической системы можно описать дифференциальным уравнением


http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image029.png .

(5.23)

Здесь F и M – матрицы с размерами, соответственно n×и n×m для системы с n состояниями и m входами. θ – вектор параметров, которые обычно соответствуют неизвестным значениям физических коэффициентов, материальных констант и т.д. Моделирование выполняется в терминах переменных состояния x, имеющих физический смысл (положение, скорость и т.д.), а измеренные выходы зависят от состояний. Пусть η(t) – измерения, получаемые с помощью идеальных (не подверженных шумам и ошибкам измерения), датчиков:

http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image030.png .

(5.24)

Используем оператор дифференцировании p и перепишем уравнение (5.23):

http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image031.png .

(5.25)

Тогда η(t) и x(t) можно связать выражением:

http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image032.png

(5.26)

Таким образом получена непрерывная модель с использованием передаточной функции, при этом модель имеет параметры, соответствующие физическим коэффициентам.

В реальности η(t) подвержен шумам и ошибкам измерений. Существует несколько способов учесть эти ошибки в модели. Рассмотрим простейший из них. Пусть измерения дискретизированы с интервалом T, возмущения в точках дискретизации равны vT(kT), k = 1, 2, …, тогда измеренные значения выходного сигнала определяются выражением:



http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image033.png.

(5.27)

Теперь необходимо определить вид передаточной функции Gc в дискретном случае. Предположим, что входной сигнал постоянен на интервале дискретизации T:

http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image034.png.

(5.28)

Тогда дифференциальное уравнение может быть решено на интервале [kT; (k+1)T]:

http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image035.png,

(5.29)

где

http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image036.png

(5.30)

Используя оператор сдвига вперёд q, выражение (5.29) можно переписать в виде:

http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image037.png ,

(5.31)

или

http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image038.png ,

(5.32)

Наконец, (5.27) может быть переписано так:

http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image039.png .

(5.33)

Без потери общности можно предположить, что T = 1 и переписать выражения (5.29) и (5.33) (H = C(θ):

http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image040.png

(5.34)

или

http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image041.png

(5.35)

Дальнейшее уточнение модели достигается добавлением модели шума v(t):

http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image042.png ,

(5.36)

где e(t) – белый шум с дисперсией λ. При использовании моделей в пространстве состояний часто шум v(t) разделяют на шум измерений n(t) и шум процесса w(t)

http://ok-t.ru/helpiksorg/baza4/157665169254.files/image043.png

(5.37)

Предполагается, что w(t) и n(t) – последовательности независимых случайных величин с нулевым средним и известной ковариационной функцией.



Поделитесь с Вашими друзьями:
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   18


База данных защищена авторским правом ©genew.ru 2020
обратиться к администрации

    Главная страница
Контрольная работа
Курсовая работа
Лабораторная работа
Рабочая программа
Методические указания
Практическая работа
Методические рекомендации
Теоретические основы
Пояснительная записка
Общая характеристика
Учебное пособие
История развития
Общие сведения
Физическая культура
Теоретические аспекты
Практическое задание
Федеральное государственное
Направление подготовки
Теоретическая часть
Техническое задание
Самостоятельная работа
Дипломная работа
Общие положения
Методическая разработка
государственное бюджетное
Образовательная программа
квалификационная работа
Выпускная квалификационная
Технологическая карта
Техническое обслуживание
Решение задач
учебная программа
История возникновения
Методическое пособие
Краткая характеристика
Рабочая учебная
Исследовательская работа
Общие требования
Общая часть
Основная часть
История создания
Рабочая тетрадь
Техническая эксплуатация
Метрология стандартизация
Информационная безопасность
Математическое моделирование
Государственное регулирование
Организация работы
Современное состояние
Название дисциплины
государственное автономное