Считать максимальную дневную температуру в Санкт-Петербурге 1 апреля случайной величиной



Скачать 249.97 Kb.
Дата19.05.2020
Размер249.97 Kb.
Название файла-

Вариант 3

Считать максимальную дневную температуру в Санкт-Петербурге 1 апреля случайной величиной . Из генеральной совокупности – данных Гидрометеослужбы о такой температуре в разные годы сделана следующая выборка (в градусах Цельсия):



0

+5

+13

+3

+14

+6

+8

+6

-1

-3

+6

+3

+3

+5

-4

+7

+3

+6

+12

+2

+12

+4

+2

+5

+9

0

+3

+8

+2

+3

+1

0

+1

-4

+3

-1

-1

+9

-1

+6

+1

+7

+2

-3

+2

0

+3

+4

+3

+4


Задача 1. Для приведенной выборки случайной величины построить вариационный ряд и выборочный закон распределения . Haйти выборочное среднее , выборочную дисперсию и исправленную выборочную дисперсию .

Задача 2. Построить с надежностью доверительный интервал для математического ожидания случайной величины .

Задача 3. Построить с надежностью доверительный интервал для дисперсии случайной величины в предположении, что она имеет нормальное распределение.

Задача 4. Используя критерий согласия Пирсона, проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины , с уровнем значимости .

Задача 5. Используя критерий согласия Пирсона, проверить гипотезу равномерном законе распределения случайной величины , с уровнем значимости .
Решение.

1. Вариационный ряд, построенный по данной выборке, извлеченной из генеральной совокупности, включает 16 вариант: -4, -3, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 13, 14 .

Составим вариационный ряд и выборочный закон распределения .



– объем выборки.

Подсчитаем частоты и относительные частоты , соответствующие каждой варианте:















-4

2

0,04

5

3

0,06

-3

2

0,04

6

5

0,1

-1

4

0,08

7

2

0,04

0

4

0,08

8

2

0,04

1

3

0,06

9

2

0,04

2

5

0,1

12

2

0,04

3

9

0,18

13

1

0,02

4

3

0,06

14

1

0,02

Выборочное среднее равно



,

Найдем


и получим выборочную дисперсию



;

исправленную выборочную дисперсию





Задача 2. Доверительный интервал для математического ожидания случайной величины , с надежностью .

Будем считать, что рассматриваемая выборка достаточно велика и применима формула:





в которой, учитывая полученные выше результаты, , а и .

Тогда доверительный интервал для математического ожидания с надежностью (доверительной вероятностью) определяется следующим образом:



Это означает, что если нет тренда, то средний за все годы максимум температуры в Санкт-Петербурге 1 апреля с вероятностью 90% заключен в интервале 2,58 – 4,54 .


3. Доверительный интервал для дисперсии случайной величины с надежностью .

Воспользуемся формулой:



.

Для определения значений и будем использовать соотношения



,

где есть квантиль порядка распределения с степенями свободы. Требуется найти квантили и . Поскольку объем выборки достаточно велик (n > 30), для вычисления квантилей можно применить асимптотическую формулу:



.

Квантили нормального распределения равны: и для имеем



Таким образом, доверительный интервал для дисперсии случайной величины , если предположить, что она имеет нормальное распределение, с надежностью (доверительной вероятностью) определяется следующим образом:



.

Иными словами, среднее квадратическое отклонение величины , характеризующее ее разброс относительно , с вероятностью 90% заключено в пределах от 3,6 до 5,1 .


4. Используя критерий согласия Пирсона, проверим гипотезу о нормальном распределении случайной величины , с уровнем значимости .

Построим группированную выборку, разбив интервал, в который попали все наши варианты, на 7 подинтервалов (j = 1, 2, …, 7) (каждый подинтервал должен содержит не менее 5–8 вариант):









[-6,5;-0,5]

-3,5

8

[-0,5;1,5]

0,5

7

[1,5;2,5]

2

5

[2,5;3,5]

3

9

[3,5;5,5]

4,5

6

[5,5;8,5]

7

9

[8,5;14,5]

11,5

6

Гистограмма частот для группированной выборки представлена на рис. 1, где h – ширина соответствующего интервала.

Рис.1. Гистограмма частот группированной выборки


Применим критерий Пирсона H. Теоретические частоты рассчитаем по формуле , где вероятности найдем из формулы:

.









Результаты вычислений проверим, просуммировав теоретические частоты.











[-6,5;-0,5]

8

7,95

0,0003

[-0,5;1,5]

7

7,24

0,0082

[1,5;2,5]

5

4,42

0,0775

[2,5;3,5]

9

4,69

3,9718

[3,5;5,5]

6

9,16

1,0911

[5,5;8,5]

9

10,11

0,1214

[8,5;14,5]

6

5,78

0,0083

Сумма теоретических частот равна 49,34, что связано с недостаточным отличием нижней границы первого интервала -6,5 и верхней границы седьмого интервала 14,5 от среднего значения 3,56.

Эмпирическое значение критерия H* для данной группированной выборки (s = 7) вычисляем по формуле:

.

Построим правостороннюю критическую область, удовлетворяющую равенству



.

Критическая точка равна квантили порядка распределения , т.е. . Из таблицы для уровня значимости и k = s – 3 = 4 имеем



.

В силу того, что наблюдаемое значение критерия не попадает в критическую область , можно принять гипотезу о нормальном распределении случайной величины при уровне значимости .


5. Используя критерий согласия Пирсона, проверим гипотезу равномерном законе распределения случайной величины , с уровнем значимости .

При равномерном законе плотность распределения вероятностей представляется выражением



и имеет параметры a и b. Оценим их, применяя метод моментов. Тогда параметры выражаются через характеристики выборки следующим: .



Используя найденные выше значения выборочного среднего и выборочной дисперсии, получим: . Применим критерий .

Используем группированную выборку, сделанную выше, и вычислим теоретические частоты по формулам:



.

В результате получим:











[-6,5;-0,5]

8

11,08

0,8558

[-0,5;1,5]

7

6,86

0,0030

[1,5;2,5]

5

3,43

0,7200

[2,5;3,5]

9

3,43

9,0524

[3,5;5,5]

6

6,86

0,1072

[5,5;8,5]

9

10,29

0,1608

[8,5;14,5]

6

8,06

0,5274

Наблюдаемое (эмпирическое) значение критерия, равно H* = 11,427.

Будем рассматривать правостороннюю критическую область. Тогда критическая точка равна – квантили распределения с числом степеней свободы k = s – 3.

В нашем случае k = 7 – 3 = 4 и, и из таблицы находим .



Поскольку эмпирическое значение критерия попадает в критическую область, определяемую как , то гипотеза о равномерном распределении данной случайной величины отвергается при уровне значимости .

Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©genew.ru 2020
обратиться к администрации

    Главная страница
Контрольная работа
Курсовая работа
Лабораторная работа
Рабочая программа
Методические указания
Практическая работа
Методические рекомендации
Теоретические основы
Пояснительная записка
Общая характеристика
Учебное пособие
История развития
Физическая культура
Общие сведения
Теоретические аспекты
Практическое задание
Федеральное государственное
Теоретическая часть
Направление подготовки
Техническое задание
Самостоятельная работа
Дипломная работа
государственное бюджетное
Общие положения
Методическая разработка
квалификационная работа
Образовательная программа
Выпускная квалификационная
Технологическая карта
Техническое обслуживание
Решение задач
учебная программа
История возникновения
Краткая характеристика
Методическое пособие
Рабочая учебная
Исследовательская работа
Общая часть
Общие требования
Основная часть
История создания
Рабочая тетрадь
Техническая эксплуатация
Метрология стандартизация
Организация работы
Информационная безопасность
Государственное регулирование
Современное состояние
Экономическая теория
Внеклассное мероприятие
государственное автономное