Получение уравнений



Скачать 40.12 Kb.
Дата08.11.2019
Размер40.12 Kb.
Название файладиплом.docx

Получение уравнений.

Для невязкой и несжимаемой жидкости плотности , компоненты скорости в цилиндрических координатах () и давление удовлетворяют уравнению непрерывности и уравнения Эйлера,



(1.1)

(1.2)

(1.3)

где гравитационное ускорение, а нижние индексы по отношению к пространству и времени представляют собой частичную дифференциацию. В системе двух текучих сред, () означает верхней (нижней) жидкости и предполагается для устойчивой стратификации. Граничные условия на границе раздела являются непрерывность нормальной скорости и давление:



(1.4)

где является смещение поверхности раздела. На верхней и нижней поверхностях жестких, кинематические граничные условия задаются



(1.5)

где () является невозмущенная толщина верхнего (нижнего) слоя жидкости.



Из предположения, что толщина каждого слоя жидкости значительно меньше характерной длины волны, уравнение непрерывности (2.1) дает следующее масштабное соотношение между :

(1.6)

где представляет собой типичную длину волны. Для волн конечной амплитуды, так же предположим, что



(1.7)

где характерная скорость выбрана в качестве . Произведем обезразмеривание физических переменных, как



(1.8)

и предположим, что все переменные, со звездочками O (1) от .



Проведем анализ уравнений для верхней жидкости; анализ для нижней жидкости аналогичен. Интегрируя (1.1) - (1.2) причерез верхний слой жидкости () и наложение граничных условий (1.4) – (1.5), получаем уравнения для верхней жидкости (смотри, например, Wu 1981 или Cammasa & Levermore 1997),

(1.9)

(1.10)

где


Пренебрежем третьим слагаемым в (1.10) в силу его малостью по сравнению с остальными.

Из (1.8), уравнение вертикального импульса (1.3) для верхней жидкости можно записать в виде

(1.11)

Следовательно, можно искать асимптотическое разложение по степеням ,



(1.12)

где = O (1) для .



Из формулы (1.11) - (1.12), а также путем наложения непрерывности давления на границе раздела , заданной (1.4), давление ведущего порядка

(1.13)

где является давлением на границе раздела.



Подставляя (1.12) - (1.13) в (1.2), получим

(1.14)

Заметим, что условие (1.14) автоматически выполняется, если предположить, что поток



первоначально был безвихревым (Choi & Camassa 1996a). Из формулы (1.1) при , можно теперь получить вертикальную скорость ведущего порядка , которая удовлетворяет кинематической граничному условию (1.4) на границе раздела:

(1.15)

где


Из (1.12) и (1.14), нетрудно показать, что


(1.16)
так что уравнение горизонтального импульса (1.10) в безразмерном виде становится
(1.17)
В из (1.11) - (1.12) и (1.15), уравнение для
(1.18)

В этом уравнении для , обозначает


(1.19)

где использовали (1.9) и для последнего равенства. После интегрирования (1.18) по и наложение динамического граничного условия (1.4), получим :


(1.20)
Из (1.13) и (1.20), правая сторона уравнения для горизонтального импульса (1.16), следовательно,
(1.21)

После подстановки (1.21) для , (1.9) и (1.17) обеспечивают желаемый набор уравнений, описывающих движение верхней жидкости.



Вместо того, чтобы повторять ту же самую процедуру для нижнего слоя жидкости, заметим, что, заменив г) на и индекс 1 на 2, можно получить систему уравнений для нижней жидкости непосредственно из (1.9) и (1.17). Окончательный результат для полного набора уравнений для четырех неизвестных , в размерном виде,

(1.22)

(1.23)

(1.24)

(1.25)

где дается формулой (1.19) и



(1.26)

Обратите внимание на то, что два кинематических уравнения (1.22) и (1.23) являются точными в то время как динамические уравнения, (1.24) и (1.25), имеют погрешность .



Тот факт, что у внутренние волны в этой системе есть "две степени свободы" (левая и правая текущие волны) предполагается, что (1.22) - (1.25) следует свести к системе второго порядка двух эволюционных уравнений. Устраняя ζ из (1.22) - (1.23) и навязывания нулевые граничные условия на бесконечности, может быть выражено через как

(1.27)

После подстановки (1.25) в (1.24) для и используя (1.27) для , (1.22) и (1.24) становится замкнутой системой уравнений для и .



Для слабо нелинейных волн, мы заменим масштабирование (1.7) на

(1.28)

При этом предположении уравнения (1.22) - (1.25) переходят в уравнения Буссинеска для внутренних волн в системе двух текучих сред, так как нелинейные дисперсионные члены в правых частях (1.24) - (1.25) сводятся к



(1.29)

Кроме того, из (1.27), имеем



(1.30)

и, за счет исключения из (1.24) и (1.25) и используя (1.30) для , набор уравнений для и получается:





где задаются



,

.

Для однонаправленных волн, (3.33) - (3.34) методом последовательных приближений может , в результате чего уравнение КДВ для

Поделитесь с Вашими друзьями:


База данных защищена авторским правом ©genew.ru 2020
обратиться к администрации

    Главная страница
Контрольная работа
Курсовая работа
Лабораторная работа
Рабочая программа
Методические указания
Практическая работа
Методические рекомендации
Теоретические основы
Пояснительная записка
Общая характеристика
Учебное пособие
История развития
Общие сведения
Физическая культура
Теоретические аспекты
Практическое задание
Федеральное государственное
Теоретическая часть
Направление подготовки
Техническое задание
Самостоятельная работа
Дипломная работа
Общие положения
Методическая разработка
государственное бюджетное
Образовательная программа
квалификационная работа
Технологическая карта
Выпускная квалификационная
Техническое обслуживание
Решение задач
учебная программа
Методическое пособие
История возникновения
Краткая характеристика
Рабочая учебная
Исследовательская работа
Общая часть
Общие требования
Рабочая тетрадь
Основная часть
История создания
Название дисциплины
Метрология стандартизация
Техническая эксплуатация
Математическое моделирование
Государственное регулирование
Современное состояние
Информационная безопасность
Организация работы
Внеклассное мероприятие